martes, 5 de mayo de 2009

Gauss, el príncipe de las Matemáticas


Johann Karl Friedrich Gauss fué un notable físico-matemático alemán que nació en 1777 en el seno de una humilde familia y murió en 1855 a la edad de 77 años. Trabajó en una amplia variedad de campos de matemáticas y física como teoría de números, analisis, geometría diferencial, geodesia, magnetismo, astronomía y óptica. Su trabajo tuvo un gran influencia en muchas áreas. Se le considera "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático mas grande desde la antigüedad".
Fué un niño prodigio, se dice que a la edad de 3 años corrigió unos calculos que estaba realizando su padre y que a los 5 años (algunos autores dicen que fue hasta los 7 y otros mas que a los 10) calculó en pocos minutos la suma de los primeros 100 números, tarea que le había encomendado su profesor de primaria para mantenerlo ocupado durante horas, según él.
Para calcular esta suma, a Gauss se le ocurrió que
1+100=2+99=...=50+51
Era claro que la suma era
50x101=5050
Hagamos ejercicios similares al que realizó Gauss en su infancia:
  1. Calcula la suma de los primeros 200 números naturales
  2. Los 50 primeros números pares
  3. Los 100 primeros números impares
  4. Los 40 primeros múltiplos de 3
  5. Los múltiplos de 5 menores que 180
  6. Los primeros 25 múltiplos de 9
  7. Los múltiplos de 7 comprendidos entre 22 y 225

¡¡Espero sus resultados!! Recuerden argumentar sus respuestas.

6 comentarios:

  1. Hola compañeros:
    Según lo que comprendí la fórmula, o la clave para resolver estas cosas se trata de multiplicar el número que sigue del último, por la mitad de números que hay.
    Mis resultados son los siguientes:
    1. 20100
    2. 2550
    3. 10050
    4. 2460
    5. 3330
    6. 2925
    7. 6699
    Creo estar en lo correcto, pero en caso de que esté equivocado en algo les pido que me corrijan.

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  2. Hola bueno esto de Gauss es bien interesante, tiene que ver aun con los temas que ya habiamos visto de sucesiones y series.

    1.Bueno el primer ejercico de calcular los 200 numeros naturales es hacer los mismo que hizo Gauss solo sumamos el 1+200= 201 nos damos cuenta que este tipo de series son progresivas ya que si se suman los primeros numeros con los ultimos siempre sale el mismo resultado.
    Despues solo tomamos la cantidad de numeros y la dividimos entre 2 por que como se suman en pares los numeros es por eso que es entre el numero 2.
    Esto es 200/2 = 100
    Ahora solo resta multiplicar (100)(201)= 20 100.

    Este es el resultado que se obtiene de las suma de los 200 numeros naturales.

    2. Es lo mismo que el caso anterior sacamos primero cual sera el ultimo numero que nos piden y esto lo obtenemos multiplicando 2 x 50 = 100.
    O como lo haciamos con las sucesiones n= 2n.
    Ahora el primer numero es 2 y lo sumamos con el 100 esto nos da 102. Y si lo realizamo con el siguiente numero tambien nos dara 102. Ejemplo:
    4 + 98 = 102
    6 + 96 = 102
    8 + 94 = 102
    10 +92 = 102.

    Entonces solo dividimos la catidad de nuemeros solicitados 50 / 2 = 25.
    Y multiplicamos 25 x 102 = 2550.

    3. Los 100 primeros numeros impares obtenemos el ultimo numero con las formula n=(n)(2)-1
    Entonces sustitui:
    n100= (100)(2)-1
    n100= (200)-1
    n100= 199
    El ultimo numero es 199 sumado con 1 nos da 200
    Por consiguiente dividimos 100/2= 50
    Y 50 x 200 = 10 000.

    4. Obtenemos el ultimo valor de la sucesion que es 120 n=3n
    n40= 3x40
    Y luego lo sumamos con el primer termino de la sucesion que es 3. 3+120= 123.
    Ahora solo dividimos 40/2= 20
    Y multiplicamos 20 x 123 = 2 460.

    5. Necesitamos saber el ultimo termino de la sucesion que se obtiene de la funcion n= 5n.
    Entonces si sabemos que debe ser menor de 180 obtenemos
    n= 180/5
    n= 36.
    Sabemos que son 36 numeros con los que trabajaremos pero como el termino 36 es el numero 180; solo trabajaremos con 35.
    Entonces sumamos 175+5= 180.
    Solo dividimos 35/2= 17.5
    Y multiplicamos 17.5 x 180 = 3 150.

    6. Como en los casos anteriores busco el termino final de la sucesión. n=9n.
    n25 = 9 x 25
    n25 = 225.
    Se suma con el primer termino de la sucesion
    9 + 225 = 234.
    Dividimos la cantidad de terminos entre 2.
    25 / 2 = 12.5
    Y multiplicamos 234 x 12.5 = 2925.

    7. En este caso iniciaremos con el numero 28 y necesitamos saber cual es el ultimo termino.
    Tenemos que n=7n.
    n= 225 / 7 = 32.14
    Por lo tanto buscamos cual es el valor del termino 32 esto lo hacemos multiplicando
    7 x 32= 224.
    Entonces ya sabemos cual es el ultimo termino ahora lo sumamos con el de el incio 28 + 224 = 252. En este caso en especial me parecio sorprendente que aunque no iniciaramos desde el inicio de la sucesion aun nos daba el mismo resultado sumando por parejas del incio y fin de la sucesion.
    Al final solo se divide la cantidad de terminos entre 2. 32 / 2 = 16.
    Y multiplicamos 252 x 16 = 4 032.

    Bueno estos son mis resultados espero que estan bien.
    Saludos a todos.
    Bye.

    Bueno siento que si comprendi el tema y espero que mis resultados esten bien pero, me queda una duda y es que como se llama esa propiedad de las sucesiones o por que es que si se suman los terminos del principio con los del final nos da el mismo resultado, yo investigue algo de progresiones numericas, pero es sorprendente como siempre los numeros suman los mismo.

    Bueno ahora si me voy.
    Que esten bien.

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  3. Hola de nuevo:

    Yo este problema se me hizo un poco mas complicado por lo cual tuve que recurrir a buscar informacion de este tema, me prestaron una enciclopedia llamada "Enciclopedia autodidactica millenium (matematicas e informatica)" en donde encontre una breve explicacion de este tema el cual me ayudo a resolverlo.

    Al ver los demas comenterios me di cuenta de que la manera en que lo realice es muy parecida al metodo que utilizo viki. Este tema me queda algo claro mas sin embargo quisiera que ma explicaran mas sobre este, bueno mis resultados fueron:

    1.- 200x201/2= 20100
    2.- n=(n)+2 100+2x50 y todo eso sobre 2
    3.- n=(n)(2)-1 = 10000
    4.- Saque el ultimo valor de la sucesion que es 120+3X40 y todo sobre 2.
    5.- En este caso el ultimo valor que vamos a trabajar es 175+5X35 y todo esto entre 2
    6.- En este punto fue el mismo procedimiento que los anteriores problemas....

    Y ya por el ultimo problema no me quedo muy claro y quisiera que me lo explicaran con mas detalle....

    Gracias y hasta luego.............

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  4. un saludo a todos..............
    el tema de GAUSS me parecio interesante el como utilizaba sus calculos a tan corta edad.

    Los problemas los resolvi de la siguente manera, ademas que con la ayuda del comentario de vicky que esta muy completo me resolvio algunas de mis dudas.

    pues el poblrema numero uno lo resolvi tal y como Gauss lo platea, calcular los 200 numeros naturales comence por sumar primero:
    1+200=201
    2+199=201
    3+198=201
    4+197=201......
    de tal forma que la suma de los primeros numeros mas la suma de los ultimos numeros siempre saldra 201; despues el 200 lo dividi entre dos y lo multiplique por 201 y me resulto 20100
    En el segundo problema era calcular los primeros 50 numeros pares pues si lo resolvemos suamndo de la siguiente manera 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24.......100 o tambien multiplicanbdo el 50 por dos darria el mismo resultado que lo anterior y para resolver la suma de los 50 primeros numeros pares necitamos hacer la misma suma que utilizamos en el problema anterior pero con 2n porque son numeros pares, entonces quedaria asi:
    2+100=102
    4+98=102
    6+96=102
    8+94=102
    10+92=102........
    y nada mas quedaria sabel la mitad de 50 y multiplicarla por 102 que da com resultado 2550

    En el problema tres los 100 primeros numeros impares lo hice con la ayuda del comentario de vicky utilizando la formula que nos dice n=(n) (2)-1
    o sea que 100x2=200 y 200-1=199
    despues dividi 100 entre dos y el resultado lo multiplique por 200 y me resulto 10000

    El problema cuatro los primeros 40 multiplos de 3 y los resolvi haciendo una serie de 3 y dspues multiplicarlo por 4 que quedaria asi: 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 30x4=120,despues hice lo siguente:
    3+120=123
    6+117=123......
    despues dividi 40/2=20 y lo multipliue por 123 y me resulto 2460

    En ekl problema 5 que es los 5 multiplos menores a 180 los hice de la siguiente manera dividi 180/5 y resulto 36
    despues duspues dividi 36/2 y me dio 18 y lo multiplique por 180 y me dio 3240.
    En el problema 6 lo resolvi haciendo una serie de 9 y lo multiplique por 25.
    9,18,27,36,45......225 o bien 9x25=225
    despues realice lo mism o que rn todas las anteriores 9+225=234
    18+216=234.....
    despues dividi 25/2 y lo multiplique por 234 y me dio 2925.

    En el problema 7 que decia los múltiplos de 7 comprendidos entre 22 y 225 busque los multiplos de 7 multiplicando 7x22=154 y despues
    hice lo siguiente: 7+154=161
    y luego el 161 lo dividi entre dos y lo multiplique por 7 y me resulto 563.5.
    despues volvi a multiplicar 7x225=1575 y luego hice lo siguiente 7+1575=1582 y 1582 lo dividi nentre dos y lo multiplique por 7 y me resulto 5537 y despues sume el promer resultado que me dio con el numero 22 de manera que me resulto 6100.5

    en el ultimo problema no lo entendi del todo bien y si me equivoque en los demas hde favor haganmelo saber. gracias.
    suerte!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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  5. Efectivamente estos problemas los vimos en clase, bien, sugerencia para el último ejercicio, calculen la suma los multiplos de 7 hasta antes del 22, luego la de los multiplos de 7 hasta el 225 y finalmente, calculen la diferencia.

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  6. Hola:
    Bueno primero que nada maestra muchas gracias por estarnos subiendo problemas, ya que no dejamos de estarlos practicando y pues no nos atrazamos tanto.
    Esto de Guss es muy interesante, de primero
    no me acordaba muy bien,ya que es un tema que lo hemos visto en clase, pero con lo que comentaron mis compañeros ya fui conparando y saque mis resultados.
    Yo entendi que para resolverlo primero devemos obtener el ultimo numero de la sucesion despues le sumamos el primer numero de la misma sucesion, luego dividimos a la mitad los numeros solicitados y ya para terminar multiplicamos el resultado de la division por la suma que realizamos al principio y ya obtenemos el resultado final.
    mis resultados fueron los siguientes:
    20100
    2550
    5050
    2460
    3150
    2925
    4032
    bueno estos fueron mis resultados mas no se si este bien, pero me gustaria que a todos estos problemas si tuvieramos tiempo les demos un repaso en el salon rapido para que a todos nos quedara mas claro
    bueno gracias

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